数值计算

专业词汇

interpolate 插值

polynomlal 多项式

monomial 单项式

iterative 迭代

equation 方程

equivation 等效

convergent 收敛

normal equations 正规方程组

orthogonal projector 垂直投影

科学计算

适定问题(well-posed problem)

需要满足如下三个条件：

a solution exists, （解存在）
the solution is unique, （解唯一）
the solution’s behaviour changes continuously with the initial conditions. （解能根据初始条件连续变化）

绝对误差、相对误差：

误差界：

向前误差、向后误差：

截断舍入、最近舍入：

误差分类：数据误差、计算误差（截断误差（假设没有舍入，方法产生的误差）、舍入误差）

敏感性&病态性：问题是敏感的&病态的：输入有误差，输出会有较大误差

量化：条件数，条件数大称为病态的

相对条件数的计算：

函数与其反函数的条件数互为倒数，一个大一个小

绝对条件数：|Δy|/|Δx|

浮点数的性质：

非规格化可以表示更多的数

线性方程组

特殊类型矩阵：

置换矩阵：

正交矩阵：如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。

对于对称正定矩阵，有楚列斯基分解：

向量范数：

1-范数：绝对值之和

2-范数：欧几里得范数，欧氏距离

无穷范数：绝对值最大的元素绝对值

矩阵范数：

1-范数：每一列绝对值求和，取列和最大

2-范数：矩阵AtA的最大特征值开平方根

矩阵谱半径：矩阵最大特征值绝对值

无穷范数：每一行绝对值求和，取行和最大

方阵的条件数：

条件数与两个范数阶数相同

LU分解（高斯消去法）：

两种迭代法：

jaboci迭代法：

高斯-塞德尔迭代法：

松弛法：在G-S迭代法的结果上进行修正

线性最小二乘

线性最小二乘曲线拟合的基本思想：

正规方程组:

求最小二乘解:

豪斯-霍尔德变换：

吉文斯变换：

格拉-施密特变换（线性代数中所学的方法）：

奇异值分解：

列满秩最小二乘解的新公式：

最小二乘解的一般公式：

非线性方程

二分法迭代：

局部收敛条件：

收敛速度：

牛顿法迭代：

割线法：

插值

分段多项式插值函数：

样条&三次样条函数：

三种多项式插值方法：

单项式基函数：

拉格朗日插值：

拉格朗日基函数：

例题：

牛顿插值：

数值积分与数值微分

代数精度 定义：如果对于所有次数不超过m 的多项式f (x) ，求积公式都精确成立，但对次数为m +1 的多项式不精确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度

三种牛顿-科斯特积分公式：

复化积分公式：